0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 の8個の数字の中から4つを選んで4桁の整数を作る。このとき、奇数は全部で何通りできるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 の8個の数字の中から4つを選んで4桁の整数を作る。このとき、奇数は全部で何通りできるか。

2. 解き方の手順

4桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数でなければならない。

与えられた数字の中で奇数は、1, 3, 5, 7 の4つである。

まず、一の位に奇数が入る場合を考える。

(i) 一の位が奇数である場合：

一の位に入る数字は4通り。

次に、千の位を考える。千の位には0は入らないので、場合分けが必要となる。

(i-1) 一の位が奇数で、千の位が0でない奇数である場合：

一の位に入る数字は4通り。千の位に入る数字は、残りの数字から0を除いた6通りから、一の位で使った奇数をさらに除いた5通り。百の位は残った数字から選ぶので6通り。十の位は残った数字から選ぶので5通り。

したがって、$5 \times 6 \times 5 \times 4 = 600$ 通り。

(i-2) 一の位が奇数で、千の位が偶数である場合：

一の位に入る数字は4通り。千の位に入る数字は0でない偶数なので3通り(2,4,6)。百の位は残った数字から選ぶので6通り。十の位は残った数字から選ぶので5通り。

したがって、$3 \times 6 \times 5 \times 4 = 360$ 通り。

(i-3) 一の位が奇数で、千の位が0である場合：

この場合は、千の位が0なので、条件を満たさない。

したがって、

$4 \times (千の位が奇数の場合の数 + 千の位が偶数の場合の数)$となる。

千の位が奇数の場合は、一の位でも奇数を使っているので、$3 \times 6 \times 5 = 90$通り

千の位が偶数の場合は、$3 \times 6 \times 5 = 90$通り

一の位に奇数を固定した場合の千、百、十の位の選び方は、千の位が0でない場合と、0の場合があるが、千の位が0の場合は4桁の整数にならないので、

まず一の位に奇数(1,3,5,7)のいずれかを入れる：4通り

次に千の位に0以外の数字を入れる：7通り

次に百の位にまだ使っていない数字を入れる：6通り

最後に十の位にまだ使っていない数字を入れる：5通り

ここで千の位に0が入らないように考える。一の位は奇数で固定されているので、

(1) 一の位が奇数の場合：千の位は0以外の数字を入れる。

一の位に入れる奇数は4通り。

千の位に入れることができる数字は、0と一の位で使った数字以外の7通り。

(1-1) 千の位が奇数の場合：残りの奇数から選ぶので3通り、偶数から選ぶのは3通り

百の位は、残りの6通り、十の位は残りの5通り。

(1-2) 千の位が偶数の場合：千の位は0以外の偶数を入れるので3通り

百の位は、残りの6通り、十の位は残りの5通り。

一の位を奇数で固定する：4通り

千の位を0以外の数字で固定する：7通り

百の位を固定する：6通り

十の位を固定する：5通り

$7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$通り。

ただし、上記は単純な順列計算なので、千の位に0が来た場合を考慮する必要がある。

一の位は奇数で固定する。4通り。

千の位が0の場合を考える。一の位が奇数の場合、残りの6個の数字から百の位と十の位を選ぶ。$6 \times 5 = 30$通り。

この30通りの並び方は、千の位が0なので、3桁の数字になる。

奇数は全部で何通りできるか。

千の位が0でない場合を計算すれば良い。

一の位が奇数である必要がある。奇数は1,3,5,7の4つ。

千の位は0ではない。

4桁の奇数を作る。

千の位、百の位、十の位、一の位

一の位は奇数。4通り。

千の位は0以外。

(i) 千の位が奇数の場合

千の位に入れる奇数は3通り。

百の位は6通り。

十の位は5通り。

$3 \times 6 \times 5 \times 4 = 360$通り

(ii) 千の位が偶数の場合

千の位に入れる偶数は3通り。

百の位は6通り。

十の位は5通り。

$3 \times 6 \times 5 \times 4 = 360$通り

したがって、合計は $360+360 = 720$通り。

3. 最終的な答え

720