2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問題を解きます。 (1) 2円の2つの交点を通る直線の方程式を求めます。 (2) 2円の2つの交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問題を解きます。

(1) 2円の2つの交点を通る直線の方程式を求めます。

(2) 2円の2つの交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差を取ることで求められます。

$$(x^2 + y^2 - 2x - 4y) - (x^2 + y^2 - 10) = 0$$

$$-2x - 4y + 10 = 0$$

$$2x + 4y - 10 = 0$$

$$x + 2y - 5 = 0$$

(2) 2円の交点と点(2, 3)を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 10 + k(x + 2y - 5) = 0$ と表せます。この円が点(2, 3)を通るので、この点を代入して$k$を求めます。

$$2^2 + 3^2 - 10 + k(2 + 2 \cdot 3 - 5) = 0$$

$$4 + 9 - 10 + k(2 + 6 - 5) = 0$$

$$3 + 3k = 0$$

$$k = -1$$

よって、円の方程式は

$$x^2 + y^2 - 10 - (x + 2y - 5) = 0$$

$$x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0$$

円の中心と半径を求めるために、平方完成します。

$$(x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 - 1^2 - 5 = 0$$

$$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4} + 1 + 5$$

$$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{20}{4}$$

$$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{25}{4}$$

したがって、中心は $(\frac{1}{2}, 1)$ であり、半径は $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x + 2y - 5 = 0$

(2) 中心: $(\frac{1}{2}, 1)$, 半径: $\frac{5}{2}$