三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=6$, $c=3$であるとき、内接円の半径$r$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=6$, $c=3$であるとき、内接円の半径$r$を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積$S$をヘロンの公式を用いて求める。

ヘロンの公式は、$s = \frac{a+b+c}{2}$とすると、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられる。

$s = \frac{5+6+3}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$S = \sqrt{7(7-5)(7-6)(7-3)} = \sqrt{7(2)(1)(4)} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

次に、内接円の半径$r$と三角形の面積$S$の関係式$S = rs$を用いる。

$S = rs$より、$r = \frac{S}{s}$

$r = \frac{2\sqrt{14}}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{14}}{7}$