三角形ABCにおいて、$a=9$, $b=5$, $c=8$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos A$ (2) 三角形ABCの面積 $S$ (3) 三角形ABCの内接円の半径 $r$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=9$, $b=5$, $c=8$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos A$

(2) 三角形ABCの面積 $S$

(3) 三角形ABCの内接円の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ の計算

余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

これを $\cos A$ について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{5^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 81}{80} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$

(2) 三角形ABCの面積 $S$ の計算

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{10})^2 = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

$\sin A = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{\sqrt{99}}{10} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$ （$\sin A > 0$ より）

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$ で求められます。

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = 20 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = 6\sqrt{11}$

(3) 三角形ABCの内接円の半径 $r$ の計算

三角形の面積 $S$ は、内接円の半径 $r$ と半周長 $s = \frac{a+b+c}{2}$ を用いて $S = rs$ と表すことができます。

$s = \frac{9+5+8}{2} = \frac{22}{2} = 11$

よって、$S = 11r$

$r = \frac{S}{11} = \frac{6\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{1}{10}$

(2) $S = 6\sqrt{11}$

(3) $r = \frac{6\sqrt{11}}{11}$