三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のような比に内分するとき、BO:ORを求めよ。ただし、AR:RC = 2:1, BQ:QC = 2:3とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のような比に内分するとき、BO:ORを求めよ。ただし、AR:RC = 2:1, BQ:QC = 2:3とする。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して解く。

三角形ACQについて、直線BRが辺を交わる点を考えると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

問題文よりAR:RC = 2:1, BQ:QC = 2:3なので、BC = BQ + QC = 2+3=5より CB=5, BQ = 2となる。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{OR}{BO} = 1$

よって、

$\frac{5}{1} \cdot \frac{OR}{BO} = 1$

$\frac{OR}{BO} = \frac{1}{5}$

したがって、BO:OR = 5:1

3. 最終的な答え

BO:OR = 5:1