円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。ただし、$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。ただし、$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点を求めるには、これら2つの式を連立させて解けば良いです。

$y = x + k$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (x + k)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 4$

$2x^2 + 2kx + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式がただ一つの解を持つということは、判別式 $D$ が0となることを意味します。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられるので、

$D = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 4) = 0$

$4k^2 - 8(k^2 - 4) = 0$

$4k^2 - 8k^2 + 32 = 0$

$-4k^2 + 32 = 0$

$4k^2 = 32$

$k^2 = 8$

$k = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 2\sqrt{2}$