円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下になることです。

円 $x^2 + y^2 = 9$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $3$ です。

直線 $y = -x + k$ は、$x + y - k = 0$ と書き換えられます。

点 $(0, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離 $d$ は、公式より

$$d = \frac{|0 + 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

となります。

円と直線が共有点を持つための条件は、$d \leq 3$ なので、

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}} \leq 3$$

$$|k| \leq 3\sqrt{2}$$

したがって、

$$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$