四角形ABCDが円に内接しており、円は点Aで直線TT'に接している。$\angle BAT' = 45^\circ$、$\angle DAT = 60^\circ$であるとき、$\angle ADB$と$\angle BCD$の大きさを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、円は点Aで直線TT'に接している。$\angle BAT' = 45^\circ$、$\angle DAT = 60^\circ$であるとき、$\angle ADB$と$\angle BCD$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質と、接弦定理を利用する。

* 接弦定理より、$\angle ADB = \angle BAT' = 45^\circ$となる。

* $\angle DAB = \angle DAT + \angle BAT = 60^\circ + (180^\circ - 45^\circ) = 60^\circ + 135^\circ = 195^\circ$ではない。

$\angle DAT = 60^\circ$, $\angle BAT = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. よって、$\angle BAD = \angle BAT' + \angle DAT' = 45^\circ + 60^\circ= 105^\circ$となる。

* 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$となる。

* 別解:

$\angle DAB = \angle DAT + \angle BAT = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$.

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$.

よって、$\angle BCD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

3. 最終的な答え

$\angle ADB = 45^\circ$

$\angle BCD = 75^\circ$