図に示された三角形において、$x$ と $y$ の値をそれぞれ求める問題です。問題は2つあります。

1. 問題の内容

図に示された三角形において、$x$ と $y$ の値をそれぞれ求める問題です。問題は2つあります。

2. 解き方の手順

(1) 上の図について考えます。

これは三角形の内角の二等分線の定理を用いる問題です。

内角の二等分線の定理は、三角形の頂点から対辺に向かって引かれた内角の二等分線は、対辺を他の二辺の比に分割するというものです。

つまり、$4.5:5 = x:y$ かつ $x+y = 2$ が成り立ちます。

$y = 2 - x$ を $4.5:5 = x:y$ に代入します。

$4.5:5 = x:(2-x)$

$4.5(2-x) = 5x$

$9 - 4.5x = 5x$

$9 = 9.5x$

$x = \frac{9}{9.5} = \frac{18}{19}$

$y = 2 - x = 2 - \frac{18}{19} = \frac{38 - 18}{19} = \frac{20}{19}$

(2) 下の図について考えます。

この問題では、三平方の定理と相似の考え方を利用します。

まず、左側の大きな三角形に注目すると、三平方の定理より、斜辺の長さが10、高さが8なので、底辺の長さは $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6$ となります。

次に、右側の直角三角形に注目すると、短い辺の長さは6であり、斜辺の長さはx、残りの辺の長さはyです。また、大きな三角形と小さな三角形は相似の関係にあるため、対応する辺の比が等しくなります。

大きな三角形と小さな三角形の相似比は、$8:6 = 4:3$ です。

$y$ は大きな三角形の底辺6に対応し、$x$ は大きな三角形の斜辺10に対応します。

したがって、$x$ について、$8:x = 4:3$ なので、$4x = 24$ より $x = 6$ となります。

同様に、$y$ について、$10:y = 4:3$ なので、$4y = 30$ より $y = 7.5$ となります。

しかし、これは右側の三角形が直角三角形であることに矛盾するため、別の解法を考えます。

小さな三角形が直角三角形であることから、三平方の定理より、$x^2 = 6^2 + y^2$ が成り立ちます。

また、大きな三角形と小さな三角形は相似であるため、$8:y = 10:x = 6:6=1$ となります。

したがって、$y = 8, x = 10$ となります。

$x^2 = 6^2 + y^2$ に $y = 8$ を代入すると $x^2 = 36 + 64 = 100$, よって $x = 10$となり、一致します。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{18}{19}$, $y = \frac{20}{19}$

(2) $x = 10$, $y = 8$