三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$AB$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$AB$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$AB$の長さを求める。余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

この式に与えられた値を代入すると、

$7^2 = AB^2 + 3^2 - 2 \cdot AB \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$49 = AB^2 + 9 - 6 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$

$49 = AB^2 + 9 - 3AB$

$AB^2 - 3AB - 40 = 0$

この2次方程式を解く。

$(AB - 8)(AB + 5) = 0$

$AB = 8$または$AB = -5$

$AB$は辺の長さなので正の値を取る。したがって、$AB = 8$

3. 最終的な答え

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