三角形ABCにおいて、AB=4, CA=2, ∠BAC=135°である。三角形ABCの面積は$2\sqrt{2}$である。また、∠BAD=45°となるような点Dを辺BC上にとるとき、ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, CA=2, ∠BAC=135°である。三角形ABCの面積は$2\sqrt{2}$である。また、∠BAD=45°となるような点Dを辺BC上にとるとき、ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDと三角形ADCの面積の和が三角形ABCの面積に等しいことを利用する。

三角形ABCの面積はすでに与えられている。

三角形ABDの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \sin(45^\circ) = \sqrt{2} AD$ となる。

∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 135° - 45° = 90° である。

三角形ADCの面積は $\frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \times 2 \times AD \times \sin(90^\circ) = AD$ となる。

三角形ABDの面積 + 三角形ADCの面積 = 三角形ABCの面積　という式を立てると、

$\sqrt{2} AD + AD = 2\sqrt{2}$

$(\sqrt{2} + 1) AD = 2\sqrt{2}$

$AD = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$

分母を有理化するために、分子と分母に$(\sqrt{2}-1)$をかける。

$AD = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 2(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$AD = 4 - 2\sqrt{2}$