$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $a + \frac{1}{a}$ (2) $a^2 + \frac{1}{a^2}$ (3) $a^3 + \frac{1}{a^3}$

1. 問題の内容

$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $a + \frac{1}{a}$

(2) $a^2 + \frac{1}{a^2}$

(3) $a^3 + \frac{1}{a^3}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ を簡略化します。

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{4 + 2\cdot 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{2^2 + 2\cdot 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = 2+\sqrt{2}$

$2+\sqrt{2}$ の整数部分は $2+1 = 3$ (なぜなら $1 < \sqrt{2} < 2$)。

したがって、小数部分 $a = (2+\sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2} - 1$。

これから $\frac{1}{a}$ を求めます。

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$。

(1) $a + \frac{1}{a} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$

(2) $a^2 + \frac{1}{a^2}$ を求めます。

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$ より、$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$。

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (2\sqrt{2})^2 - 2 = 8 - 2 = 6$

(3) $a^3 + \frac{1}{a^3}$ を求めます。

$(a+\frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2\frac{1}{a} + 3a\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a+\frac{1}{a})$.

よって $a^3 + \frac{1}{a^3} = (a+\frac{1}{a})^3 - 3(a+\frac{1}{a})$。

$a^3 + \frac{1}{a^3} = (2\sqrt{2})^3 - 3(2\sqrt{2}) = 8(2\sqrt{2}) - 6\sqrt{2} = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a + \frac{1}{a} = 2\sqrt{2}$

(2) $a^2 + \frac{1}{a^2} = 6$

(3) $a^3 + \frac{1}{a^3} = 10\sqrt{2}$