$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$, $\tan2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$, $\tan2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\alpha$ の値を求める。$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\sin\alpha > 0$ である。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.

よって、$\sin\alpha = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

次に、$\sin2\alpha$ の値を求める。

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$.

次に、$\cos2\alpha$ の値を求める。

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$.

最後に、$\tan2\alpha$ の値を求める。

$\tan2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = -4\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos2\alpha = \frac{1}{9}$

(3) $\tan2\alpha = -4\sqrt{5}$