与えられた2つの行列の逆行列を求めます。ただし、$a \neq 0$とします。 (1) $\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -a+1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2a \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の逆行列を求めます。ただし、$a \neq 0$とします。

(1)

$\begin{pmatrix}

a & 1 & 1 \\

0 & a & 1 \\

0 & 0 & a

\end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -a+1 \\

1 & 2 & 3 \\

1 & 1 & 2a

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めるには、以下の手順で行います。

1. 行列$A$の行列式$det(A)$を計算します。

2. $A$の余因子行列$C$を計算します。

3. $C$の転置行列$C^T$（$A$の随伴行列）を計算します。

4. $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T$を計算します。

(1) の行列を$A$とします。

$det(A) = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = a(a^2) - 1(0) + 1(0) = a^3$

余因子行列$C$は、

$C_{11} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = -a$

$C_{22} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -a$

$C_{33} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a^2$

$C = \begin{pmatrix}

a^2 & 0 & 0 \\

-a & a^2 & 0 \\

1-a & -a & a^2

\end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix}

a^2 & -a & 1-a \\

0 & a^2 & -a \\

0 & 0 & a^2

\end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{a^3} \begin{pmatrix}

a^2 & -a & 1-a \\

0 & a^2 & -a \\

0 & 0 & a^2

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} & \frac{1-a}{a^3} \\

0 & \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\

0 & 0 & \frac{1}{a}

\end{pmatrix}$

(2) の行列を$B$とします。

$det(B) = 1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} + (-a+1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(4a-3) - 1(2a-3) + (-a+1)(1-2) = 4a-3-2a+3 + (-a+1)(-1) = 2a + a - 1 = 3a-1$

$C_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} = 4a-3$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} = -(2a-3) = -2a+3$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & -a+1 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} = -(2a -(-a+1)) = -(3a-1) = -3a+1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -a+1 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} = 2a - (-a+1) = 3a-1$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -a+1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2(-a+1) = 3+2a-2 = 2a+1$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & -a+1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 -(-a+1)) = -(3+a-1) = -a-2$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1$

$C = \begin{pmatrix}

4a-3 & -2a+3 & -1 \\

-3a+1 & 3a-1 & 0 \\

2a+1 & -a-2 & 1

\end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix}

4a-3 & -3a+1 & 2a+1 \\

-2a+3 & 3a-1 & -a-2 \\

-1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

$B^{-1} = \frac{1}{3a-1} \begin{pmatrix}

4a-3 & -3a+1 & 2a+1 \\

-2a+3 & 3a-1 & -a-2 \\

-1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix}

\frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} & \frac{1-a}{a^3} \\

0 & \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\

0 & 0 & \frac{1}{a}

\end{pmatrix}$

(2)

$\frac{1}{3a-1} \begin{pmatrix}

4a-3 & -3a+1 & 2a+1 \\

-2a+3 & 3a-1 & -a-2 \\

-1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$