問題は、次の3つの2次関数について、グラフを描き、頂点を求めることです。 (1) $y = x^2 + 2$ (2) $y = -2x^2 + 1$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$

1. 問題の内容

問題は、次の3つの2次関数について、グラフを描き、頂点を求めることです。

(1) $y = x^2 + 2$

(2) $y = -2x^2 + 1$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$

2. 解き方の手順

2次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフは、頂点が $(p, q)$ で、軸が $x = p$ の放物線となります。与えられた関数をこの形に変形して頂点を求めます。

(1) $y = x^2 + 2$

この関数は $y = (x - 0)^2 + 2$ と書けます。

したがって、頂点は $(0, 2)$ です。グラフは頂点 $(0, 2)$ を通り、下に凸の放物線となります。

(2) $y = -2x^2 + 1$

この関数は $y = -2(x - 0)^2 + 1$ と書けます。

したがって、頂点は $(0, 1)$ です。グラフは頂点 $(0, 1)$ を通り、上に凸の放物線となります。

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$

この関数は $y = \frac{1}{3}(x - 0)^2 - 1$ と書けます。

したがって、頂点は $(0, -1)$ です。グラフは頂点 $(0, -1)$ を通り、下に凸の放物線となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 2$ のグラフの頂点は $(0, 2)$ です。

(2) $y = -2x^2 + 1$ のグラフの頂点は $(0, 1)$ です。

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$ のグラフの頂点は $(0, -1)$ です。