2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ の因数分解は、まず $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を求め、 $a(x - \alpha)(x - \beta)$ とすることで行う。

この問題では、$x^2 - 3x - 2 = 0$ の解を求める。

解の公式より、

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x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

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$a=1$, $b=-3$, $c=-2$ なので、

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x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

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x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}

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x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}

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よって、$x^2 - 3x - 2 = 0$ の解は $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ と $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ である。

したがって、$x^2 - 3x - 2$ を因数分解すると、

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x^2 - 3x - 2 = (x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})

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3. 最終的な答え

$(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$