1. 問題の内容
三角形ABCがあり、点Oは三角形ABCの外心である。角BACは70度、角ABOは30度である。このとき、角Pの大きさを求める。
2. 解き方の手順
* 外心の性質より、OA = OBである。したがって、三角形OABは二等辺三角形である。
* 角OAB = 角OBA = 30度である。
* 角AOB = 180度 - (角OAB + 角OBA) = 180度 - (30度 + 30度) = 120度である。
* 外心の性質より、角BOC = 2 * 角BAC = 2 * 70度 = 140度である。
* 角AOC = 360度 - (角AOB + 角BOC) = 360度 - (120度 + 140度) = 100度である。
* 外心の性質より、OA = OCである。したがって、三角形OACは二等辺三角形である。
* 角OAC = 角OCA = (180度 - 角AOC) / 2 = (180度 - 100度) / 2 = 80度 / 2 = 40度である。
* 角ACB = 角OCA + 角OCB = 40度 + 角OCB。
* 角ABC = 角ABO + 角OBC = 30度 + 角OBC。
* 三角形の内角の和は180度であるので、角BAC + 角ABC + 角ACB = 180度である。
* よって、70度 + (30度 + 角OBC) + (40度 + 角OCB) = 180度である。
* 140度 + 角OBC + 角OCB = 180度である。
* 角OBC + 角OCB = 180度 - 140度 = 40度である。
* 外心の性質より、OB = OCである。したがって、三角形OBCは二等辺三角形である。
* 角OBC = 角OCB = 40度 / 2 = 20度である。
* したがって、角ACB = 40度 + 20度 = 60度である。
* 角ABC = 30度 + 20度 = 50度である。
* 円周角の定理より、角P = 1/2 * 角AOB = 角ACB = 60度。
3. 最終的な答え
60度