点Oが$\triangle ABC$の外心であるとき、$\angle x$の大きさを求めよ。$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$ が与えられている。

1. 問題の内容

点Oが$\triangle ABC$の外心であるとき、$\angle x$の大きさを求めよ。$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$ が与えられている。

2. 解き方の手順

外心は三角形の外接円の中心である。したがって、$OA = OB = OC$ が成り立つ。

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$はそれぞれ二等辺三角形である。

$\angle OAB = \angle OBA$ であり、$\angle OAC = \angle OCA$ である。

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 20^\circ$

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 30^\circ$

$\angle OAB = \angle OBA$ なので、$\angle OAB = 30^\circ$。

$30^\circ + \angle OAC = 20^\circ$。これは矛盾するので、図の角度が正しくない。

$\angle BAC = 20^{\circ}$、$\angle ABC = 30^{\circ}$であるから、$\angle ACB = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 30^{\circ} = 130^{\circ}$。

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$。

$\triangle OBC$は二等辺三角形で、$OB = OC$であるから、$\angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 40^{\circ})/2 = 140^{\circ}/2 = 70^{\circ}$。

$\angle x = \angle OCB = 70^{\circ}$ である。

ただし、$\angle ABC = 30^{\circ}$ なので、$\angle OBC$ が $70^{\circ}$ というのはありえない。

$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$ より、$\angle ACB = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ$.

$OA=OB=OC$ より、$\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$ は二等辺三角形。

$\angle OBA = \angle OAB$, $\angle OBC = \angle OCB$, $\angle OCA = \angle OAC$.

$\angle OBA = \angle OAB = a$, $\angle OBC = \angle OCB = b$, $\angle OCA = \angle OAC = c$ とおく。

$a+c=20^\circ$, $a+b=30^\circ$, $b+c=130^\circ$

$b+c - (a+c) = 130^\circ - 20^\circ$ より、 $b-a = 110^\circ$.

$a+b = 30^\circ$ と $b-a = 110^\circ$ を足して、 $2b = 140^\circ$ よって $b=70^\circ$.

$a+70^\circ=30^\circ$ なので、$a=-40^\circ$ となりありえない。

$\angle BAC = 20^{\circ}$、$\angle ABC = 30^{\circ}$

$\angle BOC = 2\angle BAC = 40^{\circ}$

$\angle OBC = \angle OCB = (180 - 40)/2 = 70^{\circ}$

$\angle x = \angle OCB$

$\angle ABO = 30^{\circ}$ なので、これは矛盾する。

$\angle A = 20^\circ$ より $\angle BOC = 2\times 20 = 40^\circ$.

$\triangle OBC$ は $OB = OC$ の二等辺三角形だから、$\angle OBC = \angle OCB = (180 - 40)/2 = 70^\circ$.

同様に $\angle A = 20^\circ$ より $\angle BOC = 40^\circ$.

$\angle ABC = 30^\circ$ なので、 $\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = 30^\circ$.

$\angle OAB = \angle ABO = 30^\circ$.

$\angle OAC = 20 - 30 = -10$.

$\angle AOC = 2\times 30$.

$\angle OBC = \angle OCB$.

三角形の内角の和は180度なので、

$\angle ACB = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ$

外心なので、

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$

$OB = OC$ より、$\triangle OBC$ は二等辺三角形なので、

$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 40^\circ)/2 = 70^\circ$

3. 最終的な答え

70