写真に写っている数学の問題を解きます。具体的には以下の9つの問題です。 (1) $6x^2-5x-4$ を因数分解する。 (2) $1 \leq x \leq 4$ のとき、$x - 1 - 2|x-4|$ を簡単にする。 (3) $x$ は実数とする。「$x = \sqrt{7}$」は「$x^2 = 7$」であるための何条件か。 (4) 2次関数 $y = -2x^2 + 10x - 3$ のグラフの頂点の座標を求める。 (5) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求める。 (6) 2次不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ を解く。 (7) $\triangle ABC$ において、$AB = 4, \angle B = 45^\circ, \angle C = 60^\circ$ のとき、$CA$ を求める。 (8) $\triangle ABC$ において、$AB = 8, CA = 3, \angle A = 60^\circ$ のとき、$BC$ を求める。 (9) 次のデータの分散を求める：11, 17, 12, 20, 15

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題を解きます。具体的には以下の9つの問題です。

(1) $6x^2-5x-4$ を因数分解する。

(2) $1 \leq x \leq 4$ のとき、$x - 1 - 2|x-4|$ を簡単にする。

(3) $x$ は実数とする。「$x = \sqrt{7}$」は「$x^2 = 7$」であるための何条件か。

(4) 2次関数 $y = -2x^2 + 10x - 3$ のグラフの頂点の座標を求める。

(5) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求める。

(6) 2次不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ を解く。

(7) $\triangle ABC$ において、$AB = 4, \angle B = 45^\circ, \angle C = 60^\circ$ のとき、$CA$ を求める。

(8) $\triangle ABC$ において、$AB = 8, CA = 3, \angle A = 60^\circ$ のとき、$BC$ を求める。

(9) 次のデータの分散を求める：11, 17, 12, 20, 15

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$6x^2-5x-4$ を因数分解します。

$6x^2 - 5x - 4 = (2x+1)(3x-4)$

(2) 絶対値記号を含む式の簡略化

$1 \leq x \leq 4$ のとき、$|x-4| = 4-x$ なので、

$x-1-2|x-4| = x-1-2(4-x) = x-1-8+2x = 3x-9$

(3) 必要条件・十分条件

$x = \sqrt{7}$ ならば $x^2 = 7$ は真です。

$x^2 = 7$ ならば $x = \pm \sqrt{7}$ なので、$x=\sqrt{7}$とは限りません。

したがって、$x = \sqrt{7}$ は $x^2 = 7$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(4) 頂点の座標

$y = -2x^2 + 10x - 3$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 5x) - 3 = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 3 = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{2} - 3 = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{19}{2}$

頂点の座標は $(\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$ です。

(5) 最大値・最小値

$y = 2x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1$

軸は $x=1$ です。

$x=0$ のとき $y=1$

$x=1$ のとき $y=-1$

$x=3$ のとき $y = 2(3-1)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$

最大値は $7$、最小値は $-1$ です。

(6) 2次不等式

$x^2 - 5x + 6 < 0$ を解きます。

$(x-2)(x-3) < 0$

$2 < x < 3$

(7) 正弦定理

$\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

$\frac{CA}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$ より

$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(8) 余弦定理

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$BC^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cos 60^\circ = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$

$BC = 7$

(9) 分散

データの平均 $\bar{x} = \frac{11+17+12+20+15}{5} = \frac{75}{5} = 15$

分散 $s^2 = \frac{(11-15)^2 + (17-15)^2 + (12-15)^2 + (20-15)^2 + (15-15)^2}{5}$

$s^2 = \frac{(-4)^2 + (2)^2 + (-3)^2 + (5)^2 + (0)^2}{5} = \frac{16 + 4 + 9 + 25 + 0}{5} = \frac{54}{5} = 10.8$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)(3x-4)$

(2) $3x-9$

(3) ③

(4) $(\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$

(5) 最大値: $7$, 最小値: $-1$

(6) $2 < x < 3$

(7) $\frac{4\sqrt{6}}{3}$

(8) $7$

(9) $10.8$