与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての二次式と見て整理します。

$x^2 + (4y - 1)x + (3y^2 + y - 2)$

次に、定数項 $3y^2 + y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 + y - 2 = (3y - 2)(y + 1)$

これを用いて、$x^2 + (4y - 1)x + (3y - 2)(y + 1)$ が因数分解できる形を探します。

$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になると仮定すると、

$A+C = 4$, $B+D=-1$, $AC = 3$, $BD=-2$ を満たす組み合わせを見つけます。

$(3y - 2)$ と $(y + 1)$ を考慮すると、$A = 3, B = -2, C=1, D=1$ が適切な候補です。

実際に確かめてみます。

$(x + 3y - 2)(x + y + 1)$

この式を展開すると、

$x^2 + xy + x + 3xy + 3y^2 + 3y - 2x - 2y - 2$

$= x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$

これは与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 2)(x + y + 1)$