$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。 (1) $A + B + C$ を因数分解せよ。 (2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

1. 問題の内容

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。

(1) $A + B + C$ を因数分解せよ。

(2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $A + B + C$ を計算し、因数分解する。

$A + B + C = (x^2 + y) + (2 + y - y^2) + (4x + 1) = x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

$= x^2 + 4x + 4 - y^2 + 2y - 1 = (x+2)^2 - (y-1)^2$

$= (x+2 + y - 1)(x+2 - y + 1) = (x+y+1)(x-y+3)$

(2) $ABC$ を展開した多項式について考える。

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$

$ABC = (x^2 + y)(2+y-y^2)(4x+1)$

$x$ に着目すると、

$x^2$ の項と $4x$ の項があるので、展開した式は $x$ について 3 次式になる。

$x$ の項の係数を求める。 $x$ の項は、$x^2$ を含まない項と $4x$ をかけたものと、$4x$ を含まない項と $x^2$ をかけたものの組み合わせでできる。

定数項は、$x$ を含まない項をすべてかけたものになる。

まず、$x$ の項は、

$y(2+y-y^2)4x + (x^2) (2+y-y^2) = 4xy(2+y-y^2) + x^2(2+y-y^2)$

つまり $4y(2+y-y^2)x = (8y+4y^2-4y^3)x$となる。

したがって $x$ の係数は$8y+4y^2-4y^3$である。

次に、定数項は、

$y(2+y-y^2) = 2y + y^2 - y^3$となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x-y+3)$

(2) $x$ に着目すると3次式。$x$ の項の係数は $8y + 4y^2 - 4y^3$。定数項は $2y + y^2 - y^3$。