与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の項と $y$ の項を整理して、共通因数を見つけやすくします。

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6$

次に、式を $x$ についての二次式と見て、たすき掛けを試みます。定数項 $-6y + 6$ を $-(6y - 6)$ と書き換え、定数項を因数分解して、全体の式が因数分解できるように試行錯誤します。

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6 = (x + Ay + B)(x + Cy + D)$ と仮定します。

ここで、$AC = 0$ であり、$A + C = 2$ の可能性が高いので、$A = 2$, $C = 0$を試します。

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6 = (x + 2y + B)(x + D)$

展開すると、

$(x + 2y + B)(x + D) = x^2 + (2y + B + D)x + (2y + B)D$

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6 = x^2 + (2y + B + D)x + (2y + B)D$

係数を比較すると、

$2y - 5 = 2y + B + D$

$-6y + 6 = D(2y + B)$

一つ目の式から、$B + D = -5$ が得られます。

二つ目の式から、$D(2y + B) = -6y + 6$ を得ます。

$D$ は $y$ に依存しないので、$D = -3$ と推測できます。

もし$D = -3$ であれば、$B + D = -5$ より $B = -2$となります。

ここで、$D(2y + B) = -3(2y - 2) = -6y + 6$ となり、確かに二つ目の式も満たしています。

したがって、$B = -2$, $D = -3$ が得られます。

よって、$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = (x + 2y - 2)(x - 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 2)(x - 3)$