与えられた8つの式をそれぞれ展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの式をそれぞれ展開する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a^2 + 9)(a + 3)(a - 3)$

まず、$(a+3)(a-3)$ を展開します。これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を利用できます。

$(a+3)(a-3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

次に、$(a^2 + 9)(a^2 - 9)$ を展開します。これも和と差の積の公式を利用できます。

$(a^2 + 9)(a^2 - 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$

(2) $(4x^2 + 1)(2x - 1)(2x + 1)$

まず、$(2x - 1)(2x + 1)$ を展開します。これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を利用できます。

$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$

次に、$(4x^2 + 1)(4x^2 - 1)$ を展開します。これも和と差の積の公式を利用できます。

$(4x^2 + 1)(4x^2 - 1) = (4x^2)^2 - 1^2 = 16x^4 - 1$

(3) $(x+2)^2(x-2)^2$

$(x+2)^2$ と $(x-2)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

したがって、$(x+2)^2(x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4)$となります。

ここで、$A = x^2 + 4$, $B = 4x$ とおくと、$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ という形になります。

$(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x^2+4)^2 - (4x)^2 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 16x^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

または、$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$ より、$(x+2)^2(x-2)^2 = ((x+2)(x-2))^2 = (x^2-4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

(4) $(2x+y)^2(2x-y)^2$

$(2x+y)^2$ と $(2x-y)^2$ をそれぞれ展開します。

$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$

$(2x-y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

したがって、$(2x+y)^2(2x-y)^2 = (4x^2 + 4xy + y^2)(4x^2 - 4xy + y^2)$となります。

ここで、$A = 4x^2 + y^2$, $B = 4xy$ とおくと、$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ という形になります。

$(4x^2 + y^2 + 4xy)(4x^2 + y^2 - 4xy) = (4x^2+y^2)^2 - (4xy)^2 = (16x^4 + 8x^2y^2 + y^4) - 16x^2y^2 = 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$

または、$(2x+y)(2x-y) = 4x^2 - y^2$ より、$(2x+y)^2(2x-y)^2 = ((2x+y)(2x-y))^2 = (4x^2-y^2)^2 = 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$

(5) $(a+3)(a+5)(a-5)(a-3)$

$(a+3)(a-3)(a+5)(a-5) = (a^2-9)(a^2-25) = a^4 - 25a^2 - 9a^2 + 225 = a^4 - 34a^2 + 225$

(6) $(2x-1)(x+3)(2x+1)(x-3)$

$(2x-1)(2x+1)(x+3)(x-3) = (4x^2 - 1)(x^2 - 9) = 4x^4 - 36x^2 - x^2 + 9 = 4x^4 - 37x^2 + 9$

(7) $(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$

$((a-b)(a+b))^2 (a^2+b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 (a^2+b^2)^2 = ((a^2 - b^2)(a^2+b^2))^2 = (a^4 - b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$

(8) $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = (x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = (x^4-1)(x^4+1) = x^8 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a^4 - 81$

(2) $16x^4 - 1$

(3) $x^4 - 8x^2 + 16$

(4) $16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$

(5) $a^4 - 34a^2 + 225$

(6) $4x^4 - 37x^2 + 9$

(7) $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$

(8) $x^8 - 1$