$0 \leqq \alpha < \pi$ とする。$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leqq \alpha < \pi$ とする。$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$0 \leqq \alpha < \pi$ より $0 \leqq 2\alpha < 2\pi$ である。

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ から、半角の公式を用いて $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ を求める。

半角の公式より、

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

与えられた $\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ を代入すると、

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - (-\frac{1}{8})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{9}{8}}{2} = \frac{9}{16}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1 + (-\frac{1}{8})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{7}{8}}{2} = \frac{7}{16}$$

したがって、

$$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}$$

$$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$$

$0 \leqq \alpha < \pi$ より、$\sin \alpha \geqq 0$ なので、$\sin \alpha = \frac{3}{4}$ である。

$\cos \alpha$ の符号を決定するために、$\alpha$ の範囲を考える。

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8} < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$。よって、$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ である。

この範囲では、$\cos \alpha$ は正または負の値をとる。

倍角の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を用いて確認する。

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2(\frac{3}{4})^2 = 1 - 2(\frac{9}{16}) = 1 - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}$ となり矛盾しない。

同様に、$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ より、

$-\frac{1}{8} = 2\cos^2 \alpha - 1$。

$\cos^2 \alpha = \frac{1 - \frac{1}{8}}{2} = \frac{7}{16}$

したがって、$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > 0$ なので、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\cos \alpha < 0$ なので、$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\alpha$ の範囲を確定するために、$\sin\alpha = \frac{3}{4}$ を用いる。

$\sin \alpha = \frac{3}{4} \approx 0.75$ なので、$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ の範囲にあるのは確かである。

この範囲において$\cos\alpha$は正の場合と負の場合があるので、

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ を考えると、$\tan \alpha$ も正の場合と負の場合がある。

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{4}}{\pm \frac{\sqrt{7}}{4}} = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} = \pm \frac{3\sqrt{7}}{7}$

したがって、

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7}$ であり、

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\tan \alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$ である。

最終的に、問題文の$0 \leqq \alpha < \pi$だけでは、$\alpha$が一意に定まらないので、$\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$の値も一意に定まらない。

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = \frac{3}{4}$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき $\tan \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき $\tan \alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$