複素数 $(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数 $(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $\sqrt{3} - i$ を極形式で表します。

$z = \sqrt{3} - i$ とおくと、絶対値 $r$ は

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

となります。

偏角 $\theta$ については、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{-1}{2}$

であるから、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、

$\sqrt{3} - i = 2 (\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))$

と表すことができます。

ド・モアブルの定理より、

$(\sqrt{3} - i)^6 = [2 (\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))]^6$

$= 2^6 (\cos (-6 \cdot \frac{\pi}{6}) + i \sin (-6 \cdot \frac{\pi}{6}))$

$= 64 (\cos (-\pi) + i \sin (-\pi))$

$= 64 (-1 + i \cdot 0)$

$= 64 (-1)$

$= -64$

3. 最終的な答え

$(\sqrt{3} - i)^6 = -64$