$n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求める。

1. 問題の内容

$n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、$n^3 - 7n + 9$ を因数分解できないか検討する。

$n = -3$ のとき、 $(-3)^3 - 7(-3) + 9 = -27 + 21 + 9 = 3$

$n = -2$ のとき、 $(-2)^3 - 7(-2) + 9 = -8 + 14 + 9 = 15$

$n = -1$ のとき、 $(-1)^3 - 7(-1) + 9 = -1 + 7 + 9 = 15$

$n = 0$ のとき、 $0^3 - 7(0) + 9 = 9$

$n = 1$ のとき、 $1^3 - 7(1) + 9 = 1 - 7 + 9 = 3$

$n = 2$ のとき、 $2^3 - 7(2) + 9 = 8 - 14 + 9 = 3$

$n = 3$ のとき、 $3^3 - 7(3) + 9 = 27 - 21 + 9 = 15$

$n = 4$ のとき、 $4^3 - 7(4) + 9 = 64 - 28 + 9 = 45$

$n^3-7n+9 = (n+3)(n^2-3n+2) + 3 = (n+3)(n-1)(n-2)+3$

$n^3-7n+9 = (n-1)(n^2+n-6)+3 = (n-1)(n+3)(n-2)+3$

$n^3 - 7n + 9 = p$ (素数)となる場合を考える。

$n^3 - 7n + 9$が素数であるためには、$n^3 - 7n + 9$ は正である必要がある。

$f(n) = n^3 - 7n + 9$とする。

$f'(n) = 3n^2 - 7$

$f'(n) = 0$ となるのは $n = \pm \sqrt{\frac{7}{3}} = \pm 1.527...$ のときである。

$f(-3) = 3$

$f(1) = 3$

$f(2) = 3$

$n^3 - 7n + 9 = 3$ のとき、

$n^3 - 7n + 6 = 0$

$(n-1)(n^2+n-6) = 0$

$(n-1)(n+3)(n-2) = 0$

$n=1, n=2, n=-3$

$n=-3, 1, 2$のとき、$n^3 - 7n + 9 = 3$ となり、3は素数である。

$n^3 - 7n + 9 = -n^3 +7n -9$ を考えることはない

$n=1, 2, -3$ 以外の場合を考える。

$n^3 - 7n + 9 = (n-1)(n-2)(n+3) + 3$

これが素数となるためには、 $(n-1)(n-2)(n+3) = 0$ であるか、$n^3 - 7n + 9 = (n-1)(n-2)(n+3) + 3$ のうち、一方の因子が1である必要がある。

つまり、 $(n-1)(n-2)(n+3) + 3 = p$ (素数)となるためには、 $(n-1)(n-2)(n+3) + 3$ は素数である。

$(n-1)(n-2)(n+3) + 3 = p$

$n-1=1$とすると、$n=2$

$n-2=1$とすると、$n=3$

$n+3=1$とすると、$n=-2$

$n=3$ のとき、$f(3) = 15$

$n=-2$ のとき、$f(-2) = 15$

$n=1,2, -3$ の場合のみ素数になる。

3. 最終的な答え

$n = -3, 1, 2$