$\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

はい、承知しました。問題の3番 ($\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta$) を解きます。

1. 問題の内容

$\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を用います。

$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$

ここで、

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \alpha = \frac{a}{r}$

$\sin \alpha = \frac{b}{r}$

今回の問題では、$a = \sqrt{3}$、 $b = 3$ なので、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\alpha$は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta = 2\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$