多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-9$、 $x-3$ で割ると余りが $1$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-9$、 $x-3$ で割ると余りが $1$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ であるから、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りは $ax + b$ （$a, b$ は定数）とおける。

すなわち、

$P(x) = (x^2 - x - 6)Q(x) + ax + b = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b$ ($Q(x)$ は多項式) と表せる。

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $-9$ であるから、$P(-2) = -9$。

$P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $1$ であるから、$P(3) = 1$。

$P(-2) = -2a + b = -9$

$P(3) = 3a + b = 1$

この連立方程式を解くと、

$5a = 10$ より $a = 2$。

$3(2) + b = 1$ より $b = 1 - 6 = -5$。

したがって、求める余りは $2x - 5$。

3. 最終的な答え

$2x - 5$