$2x+y \le 6$, $x-y \ge -3$, $x+2y \ge 0$ の3つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

$2x+y \le 6$, $x-y \ge -3$, $x+2y \ge 0$ の3つの不等式を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

\begin{align}

&2x+y \le 6 \quad ...(1)\\

&x-y \ge -3 \quad ...(2)\\

&x+2y \ge 0 \quad ...(3)

\end{align}

(2)を変形して $y \le x+3$

(3)を変形して $2y \ge -x$, すなわち $y \ge -\frac{1}{2}x$

次に、これらの不等式を満たす領域を図示します。不等式(1)は直線 $2x+y=6$ の下側、不等式(2)は直線 $x-y=-3$, すなわち $y = x+3$ の下側、不等式(3)は直線 $x+2y=0$, すなわち $y = -\frac{1}{2}x$ の上側です。これらの領域の共通部分を考えます。

次に、領域の頂点を求めます。

(1)と(2)の交点：$2x+y=6$ と $x-y=-3$ より、2式を足して $3x=3$, よって $x=1$。$y=x+3=1+3=4$。交点は $(1,4)$

(1)と(3)の交点：$2x+y=6$ と $x+2y=0$ より、$x=-2y$ を $2x+y=6$ に代入して、$-4y+y=6$, よって $y=-2$。$x=-2y=-2(-2)=4$。交点は $(4,-2)$

(2)と(3)の交点：$x-y=-3$ と $x+2y=0$ より、$x=-2y$ を $x-y=-3$ に代入して、$-2y-y=-3$, よって $-3y=-3$, $y=1$。$x=-2y=-2(1)=-2$。交点は $(-2,1)$

これらの頂点における $x+y$ の値を計算します。

$(1,4)$ のとき、$x+y=1+4=5$

$(4,-2)$ のとき、$x+y=4+(-2)=2$

$(-2,1)$ のとき、$x+y=-2+1=-1$

したがって、$x+y$ の最大値は $5$、最小値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: -1