問題は2つあります。 (1) 四面体OABCにおいて、$|OA|=|OB|$、$\vec{OC} \perp \vec{AB}$であるとき、$|\vec{AC}|=|\vec{BC}|$であることを証明する。 (2) 3点A(2, 3, 1), B(1, 5, -2), C(4, 4, 0)がある。$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$のとき、$\vec{b}+t\vec{c}$と$\vec{c}$のなす角が60°となるような$t$の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 四面体OABCにおいて、$|OA|=|OB|$、$\vec{OC} \perp \vec{AB}$であるとき、$|\vec{AC}|=|\vec{BC}|$であることを証明する。

(2) 3点A(2, 3, 1), B(1, 5, -2), C(4, 4, 0)がある。$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$のとき、$\vec{b}+t\vec{c}$と$\vec{c}$のなす角が60°となるような$t$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{AC}|^2$と$|\vec{BC}|^2$が等しいことを示す。

$\vec{OC} \perp \vec{AB}$なので、$\vec{OC} \cdot \vec{AB}=0$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

$|\vec{AC}|^2 = (\vec{OC} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2$

$|\vec{BC}|^2 = (\vec{OC} - \vec{OB}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC} \cdot \vec{OB} + |\vec{OB}|^2$

$|\vec{OA}| = |\vec{OB}|$より、$|\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2$

したがって、$|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2$を示すには、$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = \vec{OC} \cdot \vec{OB}$を示せばよい。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$なので、

$\vec{OC} \cdot \vec{AB} = \vec{OC} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{OC} \cdot \vec{OB} - \vec{OC} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{OC} \cdot \vec{OB} = \vec{OC} \cdot \vec{OA}$

よって、$|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2$が成り立ち、 $|\vec{AC}| = |\vec{BC}|$である。

(2)

$\vec{b} = \vec{AB} = (1-2, 5-3, -2-1) = (-1, 2, -3)$

$\vec{c} = \vec{AC} = (4-2, 4-3, 0-1) = (2, 1, -1)$

$\vec{b}+t\vec{c} = (-1+2t, 2+t, -3-t)$

$(\vec{b}+t\vec{c}) \cdot \vec{c} = |\vec{b}+t\vec{c}| |\vec{c}| \cos{60^\circ}$

$(\vec{b}+t\vec{c}) \cdot \vec{c} = (-1+2t)(2) + (2+t)(1) + (-3-t)(-1) = -2+4t+2+t+3+t = 6t+3$

$|\vec{c}| = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

$|\vec{b}+t\vec{c}| = \sqrt{(-1+2t)^2 + (2+t)^2 + (-3-t)^2} = \sqrt{1-4t+4t^2+4+4t+t^2+9+6t+t^2} = \sqrt{6t^2+6t+14}$

$6t+3 = \sqrt{6t^2+6t+14} \sqrt{6} \cos{60^\circ}$

$6t+3 = \sqrt{6t^2+6t+14} \sqrt{6} \frac{1}{2}$

$6t+3 = \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{6t^2+6t+14}$

両辺を2乗すると、

$36t^2+36t+9 = \frac{6}{4} (6t^2+6t+14) = \frac{3}{2} (6t^2+6t+14) = 9t^2+\frac{9}{2}t+21$

$36t^2+36t+9 = 9t^2+\frac{9}{2}t+21$

$27t^2+\frac{63}{2}t-12 = 0$

$54t^2+63t-24=0$

$18t^2+21t-8=0$

$(3t+ \frac{8}{3t})(6t - 3) = 0$

$(6t-1)(3t+8)=0$

$t=\frac{1}{6}, -\frac{8}{3}$

$t=\frac{1}{6}$の場合、

$6t+3 = 1+3=4>0$

$t=-\frac{8}{3}$の場合、

$6t+3 = -16+3 = -13<0$

$\sqrt{6t^2+6t+14} > 0$

$t>-\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{6}$は解となるが、$-\frac{8}{3}$は解とならない。

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{AC}|=|\vec{BC}|$

(2) $t = \frac{1}{6}$