$\angle A$が直角である直角三角形ABCにおいて、$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をEとする。さらに、$\angle C$の二等分線とAEの交点をOとするとき、$AO:OE=(\sqrt{3}+1):2$である。このとき、$\angle B$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle A$が直角である直角三角形ABCにおいて、$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をEとする。さらに、$\angle C$の二等分線とAEの交点をOとするとき、$AO:OE=(\sqrt{3}+1):2$である。このとき、$\angle B$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle B = \theta$とおく。すると、$\angle C = 90^{\circ} - \theta$である。

$\angle ACE = \angle BCE = \frac{1}{2}(90^{\circ} - \theta) = 45^{\circ} - \frac{\theta}{2}$

$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$

三角形ACEにおいて、$\angle AEC = 180^{\circ} - \angle CAE - \angle ACE = 180^{\circ} - 45^{\circ} - (45^{\circ} - \frac{\theta}{2}) = 90^{\circ} + \frac{\theta}{2}$

三角形ABEにおいて、$\angle AEB = 180^{\circ} - \angle BAE - \angle ABE = 180^{\circ} - 45^{\circ} - \theta = 135^{\circ} - \theta$

これらは補角なので、$\angle AEC + \angle AEB = 180^{\circ}$が成り立つ。

$90^{\circ} + \frac{\theta}{2} + 135^{\circ} - \theta = 180^{\circ}$

$225^{\circ} - \frac{\theta}{2} = 180^{\circ}$

$\frac{\theta}{2} = 45^{\circ}$

$\theta = 90^{\circ}$となり矛盾する。

正弦定理を利用する。

三角形AOCにおいて、

$\frac{AO}{\sin(45^{\circ} - \frac{\theta}{2})} = \frac{OC}{\sin 45^{\circ}}$

三角形OECにおいて、

$\frac{OE}{\sin(45^{\circ} - \frac{\theta}{2})} = \frac{OC}{\sin(135^{\circ} - \theta)}$

$\frac{AO}{OE} = \frac{\sin(135^{\circ} - \theta)}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

$\sin(135^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin(135^{\circ} - \theta) = \sin(75^{\circ})$なので、$135^{\circ} - \theta = 75^{\circ}$

$\theta = 135^{\circ} - 75^{\circ} = 60^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\angle B = 60^{\circ}$