$\angle A$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $E$ とする。さらに、$\angle C$ の二等分線と $AE$ の交点を $O$ とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ である。このとき、$\angle B$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle A$ が直角である直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $E$ とする。さらに、$\angle C$ の二等分線と $AE$ の交点を $O$ とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ である。このとき、$\angle B$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle B = \theta$ とおく。すると、$\angle C = 90^\circ - \theta$ となる。

$AE$ は $\angle A$ の二等分線なので、$\angle BAE = \angle CAE = 45^\circ$ である。

三角形 $ACE$ において、$\angle ACE = (90^\circ - \theta)/2 = 45^\circ - \theta/2$ である。

したがって、$\angle AEC = 180^\circ - \angle CAE - \angle ACE = 180^\circ - 45^\circ - (45^\circ - \theta/2) = 90^\circ + \theta/2$ となる。

また、$\angle OAE = 45^\circ$ であり、$\angle OCA = 45^\circ - \theta/2$ である。

三角形 $AOC$ において、$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA = 180^\circ - 45^\circ - (45^\circ - \theta/2) = 90^\circ + \theta/2$ となる。

したがって、$\angle OEC = \angle AEC - \angle AEO = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \theta/2) = 90^{\circ} - \theta/2$.

正弦定理より、

$\frac{AO}{\sin(45^\circ - \theta/2)} = \frac{OC}{\sin 45^\circ}$

$\frac{OE}{\sin(45^\circ - \theta/2)} = \frac{OC}{\sin(90^\circ + \theta/2 - (45^\circ - \theta/2))}=\frac{OC}{\sin(45^{\circ} + \theta)}$

$\frac{AO}{OE} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin(45^{\circ} + \theta)}$.

問題文より $AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ であるから、

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin(45^{\circ} + \theta)} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ} + \theta)}$.

$\sin(45^\circ + \theta) = \frac{2}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\sin(45^\circ + \theta) = \sin 15^\circ$.

したがって $45^\circ + \theta = 15^\circ$ または $45^\circ + \theta = 165^\circ$.

$\theta = -30^\circ$ または $\theta = 120^\circ$ はありえない。

$\sin(45^\circ + \theta) = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin(165^\circ)$ より、

$\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ であるので、計算が誤っている。

$AE$ は $\angle BAC$ の二等分線だから、$\angle BAE = \angle CAE = 45^{\circ}$.

$CO$ は $\angle BCA$ の二等分線だから、$\angle OCB = \angle OCA$.

$\angle AOC = \angle OCB + \angle CBE = \angle ACB/2 + \angle ABC$.

また、 $\frac{AO}{OE} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ である。

$\angle B = 15^\circ$

3. 最終的な答え

15°