与えられた極限の値を計算する問題です。具体的には、次の極限値を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を計算する問題です。具体的には、次の極限値を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

2. 解き方の手順

この極限は、定積分で表現できることを利用します。

まず、総和の中身を次のように変形します。

$\frac{1}{n+k} = \frac{1}{n(1 + \frac{k}{n})}$

したがって、与えられた極限は、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$と置くと、$\Delta x = \frac{1}{n}$となり、リーマン和の定義から、上記の極限は次の定積分で表されます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$

この定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx = \left[ \ln(1+x) \right]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$

3. 最終的な答え

$\ln 2$