問題1は、与えられた6つの関数を微分する問題です。 問題2は、経済的発注量（EOQ）を計算する問題です。年間需要量 $D = 100000$ 個、1回あたりの発注費用 $a = 200$ 円、1個あたりの在庫維持費 $b = 40$ 円が与えられています。 (1) EOQ公式を用いて最適発注量を求めます。 (2) 総費用と最適発注回数を求めます。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた6つの関数を微分する問題です。

問題2は、経済的発注量（EOQ）を計算する問題です。年間需要量 $D = 100000$ 個、1回あたりの発注費用 $a = 200$ 円、1個あたりの在庫維持費 $b = 40$ 円が与えられています。

(1) EOQ公式を用いて最適発注量を求めます。

(2) 総費用と最適発注回数を求めます。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $f(x) = (10x - 5)^6$

合成関数の微分を行います。$u = 10x - 5$ とすると、$f(x) = u^6$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot 10 = 6(10x - 5)^5 \cdot 10 = 60(10x - 5)^5$

(2) $f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$

同様に合成関数の微分を行います。$u = 4x^2 + x + 15$ とすると、$f(x) = u^3$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (8x + 1) = 3(4x^2 + x + 15)^2 (8x + 1)$

(3) $f(x) = e^{x^2 + 1}$

合成関数の微分を行います。$u = x^2 + 1$ とすると、$f(x) = e^u$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 2xe^{x^2 + 1}$

(4) $f(x) = xe^{x^3}$

積の微分と合成関数の微分を行います。

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x) e^{x^3} + x \frac{d}{dx}(e^{x^3}) = 1 \cdot e^{x^3} + x \cdot e^{x^3} \cdot 3x^2 = e^{x^3} + 3x^3e^{x^3} = (1 + 3x^3)e^{x^3}$

(5) $f(x) = \sqrt[2]{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

積の微分を行います。$6^{x-5} = 6^x 6^{-5}$

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) 6^{x-5} + e^x \frac{d}{dx}(6^{x-5}) = e^x 6^{x-5} + e^x 6^{x-5} \ln(6) = e^x 6^{x-5}(1 + \ln(6))$

問題2

(1) EOQ公式は $EOQ = \sqrt{\frac{2aD}{b}}$ で与えられます。

$EOQ = \sqrt{\frac{2 \cdot 200 \cdot 100000}{40}} = \sqrt{\frac{40000000}{40}} = \sqrt{1000000} = 1000$

(2) 総費用 $TC = \frac{aD}{Q} + \frac{bQ}{2}$ で与えられます。ここで、$Q$ は発注量です。

最適発注量 $Q = EOQ = 1000$ のとき、

$TC = \frac{200 \cdot 100000}{1000} + \frac{40 \cdot 1000}{2} = \frac{20000000}{1000} + \frac{40000}{2} = 20000 + 20000 = 40000$

最適発注回数 $N = \frac{D}{EOQ}$ で与えられます。

$N = \frac{100000}{1000} = 100$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $60(10x - 5)^5$

(2) $3(4x^2 + x + 15)^2 (8x + 1)$

(3) $2xe^{x^2 + 1}$

(4) $(1 + 3x^3)e^{x^3}$

(5) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(6) $e^x 6^{x-5}(1 + \ln(6))$

問題2

(1) 最適発注量: 1000個

(2) 総費用: 40000円, 最適発注回数: 100回