(1) $y = \sin^{-1}(2x-1)$ が定義可能な $x$ の範囲を求めよ。 (2) $\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \tan^{-1}\sqrt{3}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $y = \sin^{-1}(2x-1)$ が定義可能な $x$ の範囲を求めよ。

(2) $\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \tan^{-1}\sqrt{3}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1}(2x-1)$ が定義可能な条件は $-1 \le 2x-1 \le 1$ である。

この不等式を解く。

まず、$2x - 1 \ge -1$ より、$2x \ge 0$ なので $x \ge 0$ である。

次に、$2x - 1 \le 1$ より、$2x \le 2$ なので $x \le 1$ である。

したがって、$0 \le x \le 1$ である。

(2) $\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$ の値を求める。$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ である。

$\sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ の値を求める。$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす$\theta$は、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ である。

$\tan^{-1}\sqrt{3}$ の値を求める。$\tan\theta = \sqrt{3}$ を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、

$\cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$= \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 1$

(2) $\frac{\pi}{4}$