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$x-y=3$ かつ $xy=2$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求めよ。

代数学式の計算連立方程式式の値
2025/4/10

1. 問題の内容

x−y=3x-y=3 かつ xy=2xy=2 のとき、x2−3xy+y2x^2 - 3xy + y^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x2−3xy+y2x^2 - 3xy + y^2 を変形します。
x2−3xy+y2=x2+y2−3xyx^2 - 3xy + y^2 = x^2 + y^2 - 3xy と書けます。
次に、x2+y2x^2 + y^2 を (x−y)2(x-y)^2 を使って表します。
(x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 であるから、x2+y2=(x−y)2+2xyx^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy となります。
したがって、x2−3xy+y2=(x−y)2+2xy−3xy=(x−y)2−xyx^2 - 3xy + y^2 = (x-y)^2 + 2xy - 3xy = (x-y)^2 - xy となります。
問題文より、x−y=3x-y = 3 かつ xy=2xy = 2 であるから、
x2−3xy+y2=(x−y)2−xy=32−2=9−2=7x^2 - 3xy + y^2 = (x-y)^2 - xy = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 となります。

3. 最終的な答え

7

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