$a, b, c$ を実数とする。 (1) 不等式 $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$ を証明せよ。また、等号が成り立つとき $a = b = c$ であることを証明せよ。 (2) 不等式 $27(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)^4$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を実数とする。

(1) 不等式 $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$ を証明せよ。また、等号が成り立つとき $a = b = c$ であることを証明せよ。

(2) 不等式 $27(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)^4$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず不等式 $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$ を証明する。

$3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)$

$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

$= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

$= (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$

$(a-b)^2 \ge 0$, $(b-c)^2 \ge 0$, $(c-a)^2 \ge 0$ より、

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$

よって、 $3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 \ge 0$

したがって、$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

次に、等号が成り立つとき $a=b=c$ であることを証明する。

等号が成り立つのは $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$ のときである。

$(a-b)^2 \ge 0$, $(b-c)^2 \ge 0$, $(c-a)^2 \ge 0$ より、

$(a-b)^2 = 0$, $(b-c)^2 = 0$, $(c-a)^2 = 0$

よって、$a-b = 0$, $b-c = 0$, $c-a = 0$

したがって、$a = b$, $b = c$, $c = a$

ゆえに、$a = b = c$

(2)

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(1^2 + 1^2 + 1^2)((a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2) \ge (a^2 + b^2 + c^2)^2$

$3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a^2 + b^2 + c^2)^2$

$a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$ より、

$(a^2 + b^2 + c^2)^2 \ge (\frac{(a+b+c)^2}{3})^2 = \frac{(a+b+c)^4}{9}$

したがって、$3(a^4 + b^4 + c^4) \ge \frac{(a+b+c)^4}{9}$

$27(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)^4$

3. 最終的な答え

(1) $3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

等号成立は $a = b = c$ のとき

(2) $27(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)^4$