与えられた式 $a^3 + a^2b - a(c^2 + b^2) + bc^2 - b^3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3 + a^2b - a(c^2 + b^2) + bc^2 - b^3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開して整理する。

$a^3 + a^2b - ac^2 - ab^2 + bc^2 - b^3$

次に、$a$について整理する。

$a^3 + a^2b - ab^2 - ac^2 + bc^2 - b^3 = a^3 + a^2b - a(b^2 + c^2) + bc^2 - b^3$

式全体を注意深く観察し、項を組み替えることで共通因数を見つけやすくする。

$a^3 - b^3 + a^2b - ab^2 - ac^2 + bc^2$

$(a-b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) - c^2(a - b)$

ここで、$(a-b)$ が共通因数になっていることがわかるので、くくり出す。

$(a-b)(a^2 + ab + b^2 + ab - c^2)$

$(a-b)(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)$

$(a-b)((a+b)^2 - c^2)$

$(a+b)^2 - c^2$ は二乗の差なので、因数分解できる。

$(a+b)^2 - c^2 = (a+b+c)(a+b-c)$

よって、最終的に

$(a-b)(a+b+c)(a+b-c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a+b+c)(a+b-c)$