与えられた数式 $a^3 + a^2b - a(c^2 + b^2) + bc^2 - b^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $a^3 + a^2b - a(c^2 + b^2) + bc^2 - b^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^3 + a^2b - ac^2 - ab^2 + bc^2 - b^3$

次に、式を整理し、共通因数でくくります。

$(a^3 - ab^2) + (a^2b - b^3) + (bc^2 - ac^2)$

$a(a^2 - b^2) + b(a^2 - b^2) - c^2(a - b)$

$(a + b)(a^2 - b^2) -c^2(a-b) = (a+b)(a-b)(a+b) - c^2(a-b)$

さらに、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を使って整理します。

$a(a+b)(a-b) + b(a+b)(a-b) - c^2(a-b) = (a-b)(a(a+b) + b(a+b) - c^2)$

$(a-b)(a^2 + ab + ab + b^2 - c^2) = (a-b)(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)$

ここで、$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ を使って整理します。

$(a-b)((a+b)^2 - c^2)$

最後に、二乗の差の公式 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を使って整理します。

$(a-b)((a+b+c)(a+b-c))$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a+b+c)(a+b-c)$