与えられた分数の式を簡略化します。問題の式は $\frac{ab+b^2}{a}-\frac{a^2+ab}{b}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡略化します。問題の式は

$\frac{ab+b^2}{a}-\frac{a^2+ab}{b}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を計算します。

$\frac{ab+b^2}{a} = \frac{b(a+b)}{a} = \frac{b}{a}(a+b)$

$\frac{a^2+ab}{b} = \frac{a(a+b)}{b} = \frac{a}{b}(a+b)$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{b}{a}(a+b) - \frac{a}{b}(a+b)$

$(a+b)$ を共通因数としてくくり出します。

$(a+b)(\frac{b}{a} - \frac{a}{b})$

次に、括弧の中を計算します。共通の分母 $ab$ で通分します。

$\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2}{ab} - \frac{a^2}{ab} = \frac{b^2-a^2}{ab}$

したがって、式は次のようになります。

$(a+b)\frac{b^2-a^2}{ab}$

分子の $b^2-a^2$ を因数分解します。

$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$

したがって、式は次のようになります。

$(a+b)\frac{(b-a)(b+a)}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)(a+b)}{ab} = \frac{(a+b)^2(b-a)}{ab}$

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ なので、

$\frac{(a^2+2ab+b^2)(b-a)}{ab} = \frac{a^2b+2ab^2+b^3-a^3-2a^2b-ab^2}{ab} = \frac{b^3+ab^2-a^2b-a^3}{ab}$

$\frac{b^3}{ab}+\frac{ab^2}{ab}-\frac{a^2b}{ab}-\frac{a^3}{ab} = \frac{b^2}{a}+b-a-\frac{a^2}{b}$

$=\frac{b^3+ab^2-a^2b-a^3}{ab}$

3. 最終的な答え

$\frac{(a+b)^2(b-a)}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)(a+b)}{ab} = \frac{b^3+ab^2-a^2b-a^3}{ab}$

$\frac{b^3+ab^2-a^2b-a^3}{ab}$