問題文は以下の通りです。 実数 $a, b$ が $a+b=2$ を満たすとき、以下の問いに答えよ。 (1) $ab \le 1$ を示せ。 (2) $0 < a < b$ とするとき、$1, a, b, ab$ の大小を不等号を用いて表せ。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

実数 $a, b$ が $a+b=2$ を満たすとき、以下の問いに答えよ。

(1) $ab \le 1$ を示せ。

(2) $0 < a < b$ とするとき、$1, a, b, ab$ の大小を不等号を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $ab \le 1$ を示す。

$a+b=2$ より、$b=2-a$ である。よって、$ab=a(2-a)=2a-a^2 = -(a^2-2a+1)+1 = -(a-1)^2+1$ となる。

ここで、$(a-1)^2 \ge 0$ であるから、$-(a-1)^2 \le 0$ である。したがって、

$ab=-(a-1)^2+1 \le 1$ が成り立つ。

(2) $0 < a < b$ かつ $a+b=2$ であるとき、$1, a, b, ab$ の大小を比較する。

$0 < a < b$ かつ $a+b=2$ より、$0 < a < 1$ かつ $1 < b < 2$ である。

したがって、$a < 1 < b$ である。

また、$ab=a(2-a)=2a-a^2$ であり、$0<a<1$ であるから、$ab < a+b$ ではない。

$ab-a = a(b-1)$ である。$b>1$ より $b-1>0$ なので、$a>0$ であれば、$ab>a$ となる。

したがって、$a < ab < 1 < b$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $ab \le 1$ (証明終わり)

(2) $a < ab < 1 < b$