問題は、次の2つの式を展開することです。 (1) $(x - y)^2(x^2 + xy + y^2)^2$ (2) $(a + b + c)^3$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式を展開することです。

(1) $(x - y)^2(x^2 + xy + y^2)^2$

(2) $(a + b + c)^3$

2. 解き方の手順

(1) $(x - y)^2(x^2 + xy + y^2)^2$を展開する。

まず、$(x - y)^2$を展開する。

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

次に、$(x^2 + xy + y^2)^2$を展開する。

$(x^2 + xy + y^2)^2 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

$= x^4 + x^3y + x^2y^2 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^4$

$= x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4$

したがって、$(x - y)^2(x^2 + xy + y^2)^2 = (x^2 - 2xy + y^2)(x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4)$

$= x^6 + 2x^5y + 3x^4y^2 + 2x^3y^3 + x^2y^4 - 2x^5y - 4x^4y^2 - 6x^3y^3 - 4x^2y^4 - 2xy^5 + x^4y^2 + 2x^3y^3 + 3x^2y^4 + 2xy^5 + y^6$

$= x^6 + (2x^5y - 2x^5y) + (3x^4y^2 - 4x^4y^2 + x^4y^2) + (2x^3y^3 - 6x^3y^3 + 2x^3y^3) + (x^2y^4 - 4x^2y^4 + 3x^2y^4) + (-2xy^5 + 2xy^5) + y^6$

$= x^6 - x^4y^2 - 2x^3y^3 + 0x^2y^4 + y^6$

$= x^6 - x^4y^2 - 2x^3y^3 + y^6$

ここで、$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$に注意すると

$(x - y)^2(x^2 + xy + y^2)^2 = [(x-y)(x^2+xy+y^2)]^2 = (x^3-y^3)^2 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6$.

(2) $(a + b + c)^3$を展開する。

$(a + b + c)^3 = ((a + b) + c)^3$

$= (a + b)^3 + 3(a + b)^2c + 3(a + b)c^2 + c^3$

$= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3(a + b)c^2 + c^3$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3$

$= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc$

$= a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$

3. 最終的な答え

(1) $x^6 - 2x^3y^3 + y^6$

(2) $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$

または

$a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$