白と黒の碁石を特定の規則に従って並べるとき、以下の3つの問いに答えます。 (1) 左端から6個目の黒の碁石まで並べたとき、白の碁石の個数を求めます。 (2) 左端からn個目の黒の碁石まで並べたとき、白の碁石の個数をnを用いて表します。 (3) 並べられた白の碁石の個数が106個のとき、白の碁石と黒の碁石の個数の合計を求めます。 規則は以下の通りです。 * 左端から1個目から3個目までは白の碁石を置く。 * 左端から4の倍数個目には白の碁石を置き、その次には黒の碁石を置く。 * それ以外には白の碁石を置く。 * 右端が黒の碁石になるまで碁石を並べる。

1. 問題の内容

白と黒の碁石を特定の規則に従って並べるとき、以下の3つの問いに答えます。

(1) 左端から6個目の黒の碁石まで並べたとき、白の碁石の個数を求めます。

(2) 左端からn個目の黒の碁石まで並べたとき、白の碁石の個数をnを用いて表します。

(3) 並べられた白の碁石の個数が106個のとき、白の碁石と黒の碁石の個数の合計を求めます。

規則は以下の通りです。

* 左端から1個目から3個目までは白の碁石を置く。

* 左端から4の倍数個目には白の碁石を置き、その次には黒の碁石を置く。

* それ以外には白の碁石を置く。

* 右端が黒の碁石になるまで碁石を並べる。

2. 解き方の手順

(1) 左端から6個目の黒の碁石まで並べた場合、黒の碁石は6個です。白の碁石の個数を求めます。

1～3個目は白。4個目は白の次に黒。5～7個目は白。8個目は白の次に黒。9～11個目は白。12個目は白の次に黒。13～15個目は白。16個目は白の次に黒。17～19個目は白。20個目は白の次に黒。21～23個目は白。24個目は白の次に黒。

並んでいる碁石は白、白、白、白、黒、白、白、白、黒、白、白、白、黒、白、白、白、黒、白、白、白、黒、白、白、白、黒、...となります。

黒の碁石が6個なので、24個目まで並んでいます。

4の倍数の位置の白の碁石は6個です。

最初の3個の白の碁石は3個です。

4の倍数の位置以外の白の碁石は24 - 6 = 18個です。

よって、白の碁石の個数は3 + (24 - 6) = 3 + 18 = 21個です。

(2) 左端からn個目の黒の碁石まで並べた場合、並んでいる碁石の総数をNとします。

Nは4の倍数の位置の白の碁石と、その次の黒の碁石がn個並んでいるので、N = 4nとなります。

白の碁石の個数は、最初の3個と、4の倍数の位置の白の碁石と、それ以外の位置の白の碁石の合計です。

最初の3個の白の碁石は3個です。

4の倍数の位置の白の碁石はn個です。

4の倍数以外の位置の白の碁石はN - n = 4n - n = 3n個です。

よって、白の碁石の個数は3 + 3n個です。

(3) 白の碁石の個数が106個のとき、白の碁石と黒の碁石の個数の合計を求めます。

白の碁石の個数は3 + 3n = 106なので、3n = 103となり、n = 103/3となります。これは整数ではないので、問題の設定が間違っていると考えられます。

しかし、問題文の意図を汲み取り、白の碁石の個数を表す式を元に考えます。

白の碁石の個数を $W$ 、黒の碁石の個数を $B$ とすると、$B = n$ です。

$W = 3 + 3n = 106$ より、$3n = 103$ なので、$n = \frac{103}{3} = 34.333...$ となります。

$B = n$ より、$B = \frac{103}{3}$ です。

白の碁石と黒の碁石の個数の合計は $W + B = 106 + \frac{103}{3} = \frac{318+103}{3} = \frac{421}{3} = 140.333...$ となります。

しかし、碁石の個数は整数でなければならないので、近い整数を考えます。

$n = 34$ のとき、白の碁石の個数は $3 + 3 \times 34 = 3 + 102 = 105$ です。

白の碁石の個数が106個になるまで白の碁石を置くと、次の碁石は4の倍数ではありません。

$4 \times 34 = 136$ なので、137個目は白です。

よって、黒の碁石は34個、白の碁石は106個なので、合計は $34 + 106 = 140$個です。

3. 最終的な答え

(1) 21個

(2) 3n + 3

(3) 140個