次の不等式のうち、常に成立するものを選びなさい。 1. $(x+7y)^2 \ge 30xy$

1. 問題の内容

次の不等式のうち、常に成立するものを選びなさい。

1. $(x+7y)^2 \ge 30xy$

2. $(x+2y)^2 \ge 9xy$

3. $(x+6y)^2 \ge 25xy$

4. $(x+5y)^2 \ge 22xy$

5. $(x+3y)^2 \ge 12xy$

2. 解き方の手順

与えられた各不等式が常に成り立つかどうかを検討します。不等式を整理して、平方完成または相加相乗平均の関係を利用して判断します。

1. $(x+7y)^2 \ge 30xy$

展開すると $x^2 + 14xy + 49y^2 \ge 30xy$ となります。

整理すると $x^2 - 16xy + 49y^2 \ge 0$ となります。

平方完成すると $(x-8y)^2 - 64y^2 + 49y^2 \ge 0$

$(x-8y)^2 - 15y^2 \ge 0$

$x=y=1$ を代入すると $(1-8)^2 - 15 = 49 - 15 = 34 \ge 0$ これは成り立ちます。

$x=0, y=1$を代入すると $49\ge 0$これも成り立ちます。

$x=1, y=0$を代入すると $1\ge 0$これも成り立ちます。

$y^2(x/y - 8)^2 - 15 \ge 0$

相加相乗平均の関係が使えそうにないし、常に成り立つわけではないです。

2. $(x+2y)^2 \ge 9xy$

展開すると $x^2 + 4xy + 4y^2 \ge 9xy$ となります。

整理すると $x^2 - 5xy + 4y^2 \ge 0$ となります。

因数分解すると $(x-y)(x-4y) \ge 0$ となります。

$x=2, y=1$を代入すると $(2-1)(2-4) = 1(-2) = -2 \ge 0$ これは成り立ちません。

3. $(x+6y)^2 \ge 25xy$

展開すると $x^2 + 12xy + 36y^2 \ge 25xy$ となります。

整理すると $x^2 - 13xy + 36y^2 \ge 0$ となります。

因数分解すると $(x-4y)(x-9y) \ge 0$ となります。

$x=5, y=1$を代入すると $(5-4)(5-9) = 1(-4) = -4 \ge 0$ これは成り立ちません。

4. $(x+5y)^2 \ge 22xy$

展開すると $x^2 + 10xy + 25y^2 \ge 22xy$ となります。

整理すると $x^2 - 12xy + 25y^2 \ge 0$ となります。

平方完成すると $(x-6y)^2 - 36y^2 + 25y^2 \ge 0$ となります。

$(x-6y)^2 - 11y^2 \ge 0$

$x=y=1$を代入すると $(1-6)^2 - 11 = 25-11 = 14 \ge 0$ これは成り立ちます。

$x=0, y=1$を代入すると $25\ge 0$これも成り立ちます。

$x=1, y=0$を代入すると $1\ge 0$これも成り立ちます。

$x=3y$を代入すると $(3y-6y)^2 - 11y^2 \ge 0 \implies 9y^2-11y^2 = -2y^2\ge 0$ これは成り立ちません。

5. $(x+3y)^2 \ge 12xy$

展開すると $x^2 + 6xy + 9y^2 \ge 12xy$ となります。

整理すると $x^2 - 6xy + 9y^2 \ge 0$ となります。

$(x-3y)^2 \ge 0$ となります。

これは常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

5