$a, b$ を実数とし、$ab<0$ とする。次の①～④の中から正しいものを一つ選べ。正しいものがない場合は⑤を選べ。 ① $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$ ② $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$ ③ $a^2 > b^2 \Rightarrow a < b$ ④ $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$ ⑤ 上の①～④は全て正しくない

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とし、$ab<0$ とする。次の①～④の中から正しいものを一つ選べ。正しいものがない場合は⑤を選べ。

① $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

② $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

③ $a^2 > b^2 \Rightarrow a < b$

④ $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

⑤ 上の①～④は全て正しくない

2. 解き方の手順

条件 $ab<0$ より、$a$ と $b$ は異符号である。つまり、$a>0, b<0$ または $a<0, b>0$ である。

① $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

これは正しくない。

例えば、$a = -2, b = 1$ のとき、$a < b$ であるが、$a^2 = 4, b^2 = 1$ より、$a^2 > b^2$ となる。

② $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

これは正しい。

$a < b$ であり、$ab < 0$ なので、$a < 0 < b$ となる。

したがって、$|a| > |b|$ であるならば、$a^2 > b^2$ となる。

仮に $|a| \leq |b|$ であるとすると、$0 < b \leq -a$ となるが、$a < b$ であることから、矛盾が生じる。

例えば、$a=-2, b=1$ ならば、$a<b$ かつ $a^2 = 4 > 1 = b^2$。

③ $a^2 > b^2 \Rightarrow a < b$

これは正しくない。

例えば、$a = 1, b = -2$ のとき、$a^2 = 1, b^2 = 4$ より、$a^2 < b^2$。

$a = -2, b = 1$ のとき、$a^2 = 4, b^2 = 1$ より、$a^2 > b^2$。

しかし、$a < b$。$a^2>b^2$ であるとき、$|a|>|b|$ であるので、$a<0<b$ の場合を考えれば、$a < b$ となる。しかし、$0 < a <|b|$ の場合、$a > b$ となる。例えば、$a = 2, b = -1$ ならば、$a^2 = 4 > 1 = b^2$ であるが、$a > b$ である。

④ $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

これは正しくない。

例えば、$a = -2, b = 1$ のとき、$a^2 = 4 > 1 = b^2$ であるが、$a < b$。

したがって、正しいのは②のみである。

3. 最終的な答え

②