(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開する。 (2) (1)の結果を用いて、 $(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)$ を展開する。 (3) (1)の結果を用いて、$x^3+y^3+1-3xy$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開する。

(2) (1)の結果を用いて、 $(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)$ を展開する。

(3) (1)の結果を用いて、$x^3+y^3+1-3xy$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開する。

分配法則を用いて展開します。

\begin{align*}

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) &= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2 \\

&+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc \\

&+a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a \\

&= a^3+b^3+c^3-3abc

\end{align*}

(2) (1)の結果を用いて、 $(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)$ を展開する。

(1) の結果より、$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$ である。

$a=x$, $b=y$, $c=-1$ とすると、

$a+b+c = x+y-1$ である。

また、

\begin{align*}

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca &= x^2+y^2+1 -xy -y(-1) -x(-1) \\

&= x^2+y^2+1 -xy +y +x \\

&= x^2-xy+y^2+x+y+1

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1) &= x^3+y^3+(-1)^3 -3(x)(y)(-1) \\

&= x^3+y^3-1+3xy

\end{align*}

(3) (1)の結果を用いて、$x^3+y^3+1-3xy$ を因数分解する。

(1) の結果より、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ である。

$x^3+y^3+1-3xy = x^3+y^3+1^3-3xy(1)$ であるから、$a=x$, $b=y$, $c=1$ とすれば、

$x^3+y^3+1-3xy = (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3+c^3-3abc$

(2) $x^3+y^3-1+3xy$

(3) $(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$