与えられた式 $x^2 + (y+1)x - (2y+3)(y+2)$ を因数分解または展開して整理しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (y+1)x - (2y+3)(y+2)$ を因数分解または展開して整理しなさい。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $(2y+3)(y+2)$ を展開します。

$$(2y+3)(y+2) = 2y^2 + 4y + 3y + 6 = 2y^2 + 7y + 6$$

したがって、与えられた式は

$$x^2 + (y+1)x - (2y^2 + 7y + 6)$$

となります。次に、この式を因数分解することを考えます。

$x^2$ の係数は 1 なので、$x$ の係数が $y+1$、定数項が $-2y^2 - 7y - 6$ となるような $(x+a)(x+b)$ を探します。ここで、$a+b = y+1$ かつ $ab = -2y^2 - 7y - 6$ となる必要があります。

$-2y^2 - 7y - 6$ を因数分解すると、$-(2y+3)(y+2)$ となります。

$a = 2y+3$ かつ $b = -y-2$ とすると、

$a+b = (2y+3) + (-y-2) = y+1$

$ab = (2y+3)(-y-2) = -2y^2 -4y -3y -6 = -2y^2 -7y -6$

となるので、

$x^2 + (y+1)x - (2y+3)(y+2) = (x + 2y + 3)(x - y - 2)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 3)(x - y - 2)$