複素数 $z$ について、$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となる点 $z$ 全体はどのような図形か、複素数平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となる点 $z$ 全体はどのような図形か、複素数平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i} = \frac{z-i + z+i}{(z+i)(z-i)} = \frac{2z}{z^2+1}$$

この複素数が実数となる条件は、$\frac{2z}{z^2+1}$ の虚部が0となることです。

$z = x+iy$ とおくと、

$$\frac{2z}{z^2+1} = \frac{2(x+iy)}{(x+iy)^2+1} = \frac{2(x+iy)}{x^2 - y^2 + 1 + 2ixy}$$

分母の実数化のために、分母の共役複素数を掛けます。

$$\frac{2(x+iy)}{x^2 - y^2 + 1 + 2ixy} \cdot \frac{x^2 - y^2 + 1 - 2ixy}{x^2 - y^2 + 1 - 2ixy}$$

$$= \frac{2(x+iy)(x^2 - y^2 + 1 - 2ixy)}{(x^2 - y^2 + 1)^2 + (2xy)^2}$$

$$= \frac{2[x(x^2 - y^2 + 1) + 2xy^2 + i\{y(x^2 - y^2 + 1) - 2x^2y\}]}{(x^2 - y^2 + 1)^2 + 4x^2y^2}$$

これが実数となるためには、虚部が0である必要があります。

$$y(x^2 - y^2 + 1) - 2x^2y = 0$$

$$y(x^2 - y^2 + 1 - 2x^2) = 0$$

$$y(-x^2 - y^2 + 1) = 0$$

$$y(x^2 + y^2 - 1) = 0$$

したがって、$y=0$ または $x^2+y^2=1$ です。

$y=0$ は $z$ が実数であることを示し、これは複素数平面上の実軸です。ただし、$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$が定義されるためには、$z \neq \pm i$ である必要があり、$z$が実数の時は条件を満たします。

$x^2+y^2=1$ は原点を中心とする半径1の円です。ただし、$z \neq \pm i$ である必要があり、$\pm i$は円上の点ではないので、問題ありません。

3. 最終的な答え

実軸と、原点を中心とする半径1の円。