$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x-3)^4$ を展開する。二項定理より、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

である。この問題では、$a=x$, $b=-3$, $n=4$である。

したがって、

$(x-3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-3)^k$

$x^2$ の係数を求めるので、$4-k=2$ となる $k$ を探す。

$k=2$ である。

よって、$x^2$ の係数は、

$\binom{4}{2} x^{4-2} (-3)^2 = \binom{4}{2} x^2 (-3)^2 = \binom{4}{2} \cdot 9 \cdot x^2$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

なので、$x^2$ の係数は $6 \times 9 = 54$ である。

3. 最終的な答え

54