関数 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ において、$-1 \le x \le 1$ の範囲での最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ において、$-1 \le x \le 1$ の範囲での最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = \frac{1}{2}((x - 2)^2 - 4) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2 + 3$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

この式から、グラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 1)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ 内で、最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $2$ であり、これは定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点である $x = -1$ と $x = 1$ における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、

$y = \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 3 = \frac{1}{2} + 2 + 3 = \frac{11}{2}$

$x = 1$ のとき、

$y = \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + 3 = \frac{1}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2}$

定義域内で関数は連続であり、頂点の$x$座標が範囲外であることから、$x=-1$で最大値、$x=1$で最小値を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{11}{2}$ ($x = -1$ のとき)

最小値: $\frac{3}{2}$ ($x = 1$ のとき)